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高考数学常考点不等式三种出题模式

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  一、 简单的线性规划问题
  简单的线性规划问题是高考的热点之一,是历年高考的必考内容,主要以填空题的形式考查最优解的最值类问题的求解,高考的命题主要围绕以下几个方面:
  (1) 常规的线性规划问题,即求在线性约束条件下的最值问题;
  (2) 与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;
  (3) 求在非线性约束条件下的最值问题;
  (4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。
  【例1】 设函数f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点?P(x,y)?,且0≤θ≤?π?。
  (1) 若点P的坐标为12,32,求f(θ)的值;
  (2) 若点P(x,y)为平面区域Ω:x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值。
  分析 第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域Ω,再根据抽画出的平面区域确定角θ的取值范围,进而转化为求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函数的最值。
  解 (1) 由点P的坐标和三角函数的定义可得?sin?θ=32,?cos?θ=12。
  于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
  (2) 作出平面区域Ω (即三角形区域ABC)如图所示,其中A(1,0),B(1,1),?C(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
  又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6,
  且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3,
  故当θ+?π?6=?π?2,即θ=?π?3时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2;
  当θ+?π?6=?π?6,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1。
  点评 本题中的最大的亮点在于以解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合,过去历年高考对线性规划考查中并不多见。
  二、 基本不等式
  基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一。它的应用几乎涉及高中数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题,试题的难度不大,近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题。
  【例2】 心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为1,则x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天时进行第一次复习,则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计),其后存留量y?2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分,其斜率为a(t+4)?2(?a
  (1) 若a=-1,t=5,求“二次复习最佳时机点”;
  (2) 若出现了“二次复习最佳时机点”,求a的取值范围。
  分析 关键是分析图像和理解题目所表示的含义,建立函数关系,再用基本不等式求最值。
  解 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y,
  由题意知,y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t>?4),
  所以y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t>4)。
  当a=-1,t=5时,
  y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4
  =-(x+4)81-4x+4+?1≤?-2481+1=59,
  当且仅当x=14 时取等号,所以“二次复习最佳时机点”为第14天.
  (2) y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=--a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?≤-2-4a(t+4)?2+?8-at+4,当且仅当-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2-a(t+4)-4 时取等号,
  由题意2-a(t+4)-4>t,所以-4
  点评 基本不等式在每年的高考中几乎是从不缺席的,关键是要注意运用基本不等式的条件:一正、二定、三相等。
  三、 不等式的求解
  【例3】 对于问题:“已知关于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集为(-1,2),解关于x的不等式ax?2-bx+c>0”,给出如下一种解法:
  参考上述解法,若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1,-13∪12,1,则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集为? ? 。
  分析 观察发现ax?2+?bx+?c>0将x换成?-x得??a(-x)?2+?b(-x)+c>0,则解集也相应变化,-x∈(-1,2),则?x∈?(-2,1),不等式kx+a+x+bx+c<0将x换成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0,故1x∈-1,-13∪12,1,分析可得答案。
  解 由ax?2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)?2+b(-x)+c>0的解集为(?-2?,1),即关于x的不等式ax?2-bx+c>0的解集为(-2,1)。
  若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1,?-13?∪12,1
  则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得,则有1x∈?-1?,-13∪12,1从而解得x∈(-3,?-1?)∪(1,2),故答案为(-3,-1)∪(1,2)。
  点评 本题考查了类比推理,一元二次不等式以及分式不等式的求解,通过已知条件发现规律,属于探究类创新题。
  综上所述,不等式之所以成为高考中经久不息考试热点,而且创意不断常考常新.除了不等式的知识本身在中学数学中具有丰富的内涵和突出的地位外,与它和高等数学、现实生活有着紧密的关系也是重要的原因之一.在高考命题中,追寻不等式与其他重点知识的新颖巧妙的组合以及与高等数学的相互联系,挖掘不等式在现实生活和科学研究中的广泛应用,把对数学思想方法和数学应用意识以及在全新的情景中对学生数学素养等的考查赋于不等式的考查之中,往往是高考对不等式考查的一个创新点。
  牛刀小试
  1。若a>0,b>0,且函数f(x)=4x?3-ax?2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于.??
  2. 关于x的不等式x?2-(a+1)x+a<0的所有整数解之和为27,则实数a的取值范围是.
  【参考答案】
  1。f′(x)=12x?2-2ax-2b,∵f(x)在?x=?1处有极值,
  ∴f′(1)=0,即12-2a-?2b=?0,化简得?a+?b=6,
  ∵a>0,b>0,∴ab≤a+b2?2=9,当且仅当?a=??b=?3时,ab有最大值,最大值为9。
  2. 由x?2-(a+1)x+a<0得(x-1)(x-a)<0,由题意可知a≤1不可能,否则不能满足不等式x?2-(a+1)x+a<0的所有整数解之和为27,所以a>1,由(x-1)(x-a)<0解得?1

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